ISOMORFISMA

Seperti yang telah dijelaskan pada grup siklik sebelumnya, bahwa apabila dua grup dikatakan sama secara struktur disebut isomorf (bersifat isomorfisma).

Dua buah grup dikatakan isomorfisma, missal dari grup S ke grup S*, jika fungsinya bersifat satu-satu pada dari S ke S* dan untuk setiap x dan y yang ada di S berlaku

(xy) # = (x #) (y #)  dimana # adalah sebuah operasi fungsi.

Notasi untuk dua grup yang isomorf adalah .

Akan diberikan cara untuk membuktikan dua buah grup isomorf, yaitu :

Langkah 1. Mendefinisikan fungsi # yang memberikan sifat isomorfisma dari S ke S*. Mendeskripsikannya dengan cara tertentu seperti membuat  sebuah operasi x # di S yang berlaku untuk semua x di S.

Langkah 2. Tunjukkan bahwa operasi ( # ) yang kita buat bersifat fungsi satu-satu.

Contoh sederhana yang sering dipakai yaitu, jika x # = y # maka  f(x) = f(y) dan berakibat x = y.

Langkah 3. Tunjukkan bahwa operasi ( # ) yang kita buat bersifat fungsi pada.

Contoh sederhana yang sering dipakai yaitu, jika f(x) Є S* maka  x Є S. Dan buktikan f(x) # akan menghasilkan x juga.

Langkah 4.Tunjukkan (xy) # = (x #) (y #) untuk semua x,y Є S.

Dengan dasar langkah-langkah yang telah ditunjukkan di atas, dengan sedikit mudah kita bisa membuktikan beberapa teoremadari isomorfisma.

Teorema 8.1 Suatu isomorfisma akan memetakan identitas ke identitas dan memetakan invers ke invers juga.

Teorema 8.2 Sebarang grup siklik berorder tak hingga isomorf dengan Z, grup bilangan bulat terhadap operasijumlah.

Teorema 8.3 ( dikenal dengan Teorema Cayley) Setiap grup berhingga, isomorf dengan grup permutasi.

Langkah-langkah tersebut sangat diperlukan untuk menyelesaikan teorema-teorema di atas. Teruslah berlatih….!!!!



Grup Siklik

Grup terdapat banyak macamnya yaitu Grup Komutatif, Grup Simetri Pada n Bilangan, Grup Octic (dikatakan simetri dari bujur sangkar),  Grup Permutasi, Grup Alternating, dan Grup Siklik. Setiap grup memilki karakteristik yang bermacam-macam.

Yang kita bahas saat ini adalah grup siklik. Grup yang memilki ciri khas memiliki unsur pembangun. Sebenarnya Grup ini dapat dikatakan sama dengan grup lainnya. Hanya saja cara penulisannya saja yang berbeda dan grup siklik memiliki pembangun yang merupakan anggota dari grup siklik tersebut. Akan tetapi tidak semua anggota grup siklik adalah pembangun grup siklik.

Misalkan G ={aⁿ l n Є Z}. maka a dinamakan pembangun dari G, karena grup G dibangun oleh a (dinotasikan dengan G= ), grup G dinamakan Grup Siklik.

Ciri khas lain dari Grup Siklik yaitu bahwa semua Grup Siklik adalah Grup Komutatif dan SubGrup dari suatu Grup yang siklik adalah siklik juga (jika ingin melihat pembuktiannya lihat di buku karangan Ahmad Arifin atau bisa didwnload di www.adit38.co.cc)

Grup siklik yang memiliki pembangun a memilki 2 jenis kasus

1. Grupyang memiliki tak hinga elemen atau dengan kata lain memiliki order yang tak hinga.
2. Grup yang memilki hingga elemen atau dengan kata lain berorder hingga

Namun keduanya bisa isomorf (bahasan selanjutnya),untuk kasus tak hingga, dua grup yang keduanya tak hingga,dapat dikatakan hanya beda nama anggota dan operasinya saja, namun jika dilakukan penamaan ulang maka keduanya akan tampak persis. Sedangkan untuk yang order hingga, hanya jika berorder sama akan isomorf.

Jika a adalah pembangun grup siklik G yang berorder hingga, dengan order n, maka terdapat pembangun yang lain, disebut a^s dimana n dan adalah relatif prim, yang berarti pembagi sekutu terbesar dari n dan s adalah 1.

Contoh sederhana, akan dicari pembangun dan subgrup dari Z10

Jika dimulai dari yang terkecil yaitu 1 maka

<1> = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) = Z10

<2> = (0,2,4,6,8)

<3> = (0,3,6,9,2,5,8,1,4,7) = Z10

<4> = (0,4,8,2,6) = <2>

<5> = (0,5)

<6> = (0,6,2,8,4) = <2>

<7> = (0,7,4,1,8,5,2,9,6,3) = Z10

<8> = (0,8,6,4,2) = <2>

<9> = (0,9,8,7,6,5,4,3,2,1) = Z10

Dari perhitungan didapat pembangun dari Z10 yaitu 1,3,7, dan 9. Sedangkan subgrupnya yaitu 2,4,5,6, dan 8.