Grup terdapat banyak macamnya yaitu Grup Komutatif, Grup Simetri Pada n Bilangan, Grup Octic (dikatakan simetri dari bujur sangkar), Grup Permutasi, Grup Alternating, dan Grup Siklik. Setiap grup memilki karakteristik yang bermacam-macam.
Yang kita bahas saat ini adalah grup siklik. Grup yang memilki ciri khas memiliki unsur pembangun. Sebenarnya Grup ini dapat dikatakan sama dengan grup lainnya. Hanya saja cara penulisannya saja yang berbeda dan grup siklik memiliki pembangun yang merupakan anggota dari grup siklik tersebut. Akan tetapi tidak semua anggota grup siklik adalah pembangun grup siklik.
Misalkan G ={an l n Є Z}. maka a dinamakan pembangun dari G, karena grup G dibangun oleh a (dinotasikan dengan G= ), grup G dinamakan Grup Siklik.
Ciri khas lain dari Grup Siklik yaitu bahwa semua Grup Siklik adalah Grup Komutatif dan SubGrup dari suatu Grup yang siklik adalah siklik juga (jika ingin melihat pembuktiannya lihat di buku karangan Ahmad Arifin atau bisa didwnload di www.adit38.co.cc)
Grup siklik yang memiliki pembangun a memilki 2 jenis kasus
- Grupyang memiliki tak hinga elemen atau dengan kata lain memiliki order yang tak hinga.
- Grup yang memilki hingga elemen atau dengan kata lain berorder hingga
Namun keduanya bisa isomorf (bahasan selanjutnya),untuk kasus tak hingga, dua grup yang keduanya tak hingga,dapat dikatakan hanya beda nama anggota dan operasinya saja, namun jika dilakukan penamaan ulang maka keduanya akan tampak persis. Sedangkan untuk yang order hingga, hanya jika berorder sama akan isomorf.
Jika a adalah pembangun grup siklik G yang berorder hingga, dengan order n, maka terdapat pembangun yang lain, disebut as dimana n dan adalah relatif prim, yang berarti pembagi sekutu terbesar dari n dan s adalah 1.
Contoh sederhana, akan dicari pembangun dan subgrup dari Z10
Jika dimulai dari yang terkecil yaitu 1 maka
<1> = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) = Z10
<2> = (0,2,4,6,8)
<3> = (0,3,6,9,2,5,8,1,4,7) = Z10
<4> = (0,4,8,2,6) = <2>
<5> = (0,5)
<6> = (0,6,2,8,4) = <2>
<7> = (0,7,4,1,8,5,2,9,6,3) = Z10
<8> = (0,8,6,4,2) = <2>
<9> = (0,9,8,7,6,5,4,3,2,1) = Z10
Dari perhitungan didapat pembangun dari Z10 yaitu 1,3,7, dan 9. Sedangkan subgrupnya yaitu 2,4,5,6, dan 8.
