Seperti yang telah dijelaskan pada grup siklik sebelumnya, bahwa apabila dua grup dikatakan sama secara struktur disebut isomorf (bersifat isomorfisma).
Dua buah grup dikatakan isomorfisma, missal dari grup S ke grup S*, jika fungsinya bersifat satu-satu pada dari S ke S* dan untuk setiap x dan y yang ada di S berlaku
(xy) # = (x #) (y #) dimana # adalah sebuah operasi fungsi.
Notasi untuk dua grup yang isomorf adalah .
Akan diberikan cara untuk membuktikan dua buah grup isomorf, yaitu :
Langkah 1. Mendefinisikan fungsi # yang memberikan sifat isomorfisma dari S ke S*. Mendeskripsikannya dengan cara tertentu seperti membuat sebuah operasi x # di S yang berlaku untuk semua x di S.
Langkah 2. Tunjukkan bahwa operasi ( # ) yang kita buat bersifat fungsi satu-satu.
Contoh sederhana yang sering dipakai yaitu, jika x # = y # maka f(x) = f(y) dan berakibat x = y.
Langkah 3. Tunjukkan bahwa operasi ( # ) yang kita buat bersifat fungsi pada.
Contoh sederhana yang sering dipakai yaitu, jika f(x) Є S* maka x Є S. Dan buktikan f(x) # akan menghasilkan x juga.
Langkah 4.Tunjukkan (xy) # = (x #) (y #) untuk semua x,y Є S.
Dengan dasar langkah-langkah yang telah ditunjukkan di atas, dengan sedikit mudah kita bisa membuktikan beberapa teoremadari isomorfisma.
Teorema 8.1 Suatu isomorfisma akan memetakan identitas ke identitas dan memetakan invers ke invers juga.
Teorema 8.2 Sebarang grup siklik berorder tak hingga isomorf dengan Z, grup bilangan bulat terhadap operasijumlah.
Teorema 8.3 ( dikenal dengan Teorema Cayley) Setiap grup berhingga, isomorf dengan grup permutasi.
Langkah-langkah tersebut sangat diperlukan untuk menyelesaikan teorema-teorema di atas. Teruslah berlatih….!!!!
