ISOMORFISMA

Seperti yang telah dijelaskan pada grup siklik sebelumnya, bahwa apabila dua grup dikatakan sama secara struktur disebut isomorf (bersifat isomorfisma).

Dua buah grup dikatakan isomorfisma, missal dari grup S ke grup S*, jika fungsinya bersifat satu-satu pada dari S ke S* dan untuk setiap x dan y yang ada di S berlaku

(xy) # = (x #) (y #)  dimana # adalah sebuah operasi fungsi.

Notasi untuk dua grup yang isomorf adalah .

Akan diberikan cara untuk membuktikan dua buah grup isomorf, yaitu :

Langkah 1. Mendefinisikan fungsi # yang memberikan sifat isomorfisma dari S ke S*. Mendeskripsikannya dengan cara tertentu seperti membuat  sebuah operasi x # di S yang berlaku untuk semua x di S.

Langkah 2. Tunjukkan bahwa operasi ( # ) yang kita buat bersifat fungsi satu-satu.

Contoh sederhana yang sering dipakai yaitu, jika x # = y # maka  f(x) = f(y) dan berakibat x = y.

Langkah 3. Tunjukkan bahwa operasi ( # ) yang kita buat bersifat fungsi pada.

Contoh sederhana yang sering dipakai yaitu, jika f(x) Є S* maka  x Є S. Dan buktikan f(x) # akan menghasilkan x juga.

Langkah 4.Tunjukkan (xy) # = (x #) (y #) untuk semua x,y Є S.

Dengan dasar langkah-langkah yang telah ditunjukkan di atas, dengan sedikit mudah kita bisa membuktikan beberapa teoremadari isomorfisma.

Teorema 8.1 Suatu isomorfisma akan memetakan identitas ke identitas dan memetakan invers ke invers juga.

Teorema 8.2 Sebarang grup siklik berorder tak hingga isomorf dengan Z, grup bilangan bulat terhadap operasijumlah.

Teorema 8.3 ( dikenal dengan Teorema Cayley) Setiap grup berhingga, isomorf dengan grup permutasi.

Langkah-langkah tersebut sangat diperlukan untuk menyelesaikan teorema-teorema di atas. Teruslah berlatih….!!!!



Grup Siklik

Grup terdapat banyak macamnya yaitu Grup Komutatif, Grup Simetri Pada n Bilangan, Grup Octic (dikatakan simetri dari bujur sangkar),  Grup Permutasi, Grup Alternating, dan Grup Siklik. Setiap grup memilki karakteristik yang bermacam-macam.

Yang kita bahas saat ini adalah grup siklik. Grup yang memilki ciri khas memiliki unsur pembangun. Sebenarnya Grup ini dapat dikatakan sama dengan grup lainnya. Hanya saja cara penulisannya saja yang berbeda dan grup siklik memiliki pembangun yang merupakan anggota dari grup siklik tersebut. Akan tetapi tidak semua anggota grup siklik adalah pembangun grup siklik.

Misalkan G ={an l n Є Z}. maka a dinamakan pembangun dari G, karena grup G dibangun oleh a (dinotasikan dengan G= ), grup G dinamakan Grup Siklik.

Ciri khas lain dari Grup Siklik yaitu bahwa semua Grup Siklik adalah Grup Komutatif dan SubGrup dari suatu Grup yang siklik adalah siklik juga (jika ingin melihat pembuktiannya lihat di buku karangan Ahmad Arifin atau bisa didwnload di http://www.adit38.co.cc)

Grup siklik yang memiliki pembangun a memilki 2 jenis kasus

  1. Grupyang memiliki tak hinga elemen atau dengan kata lain memiliki order yang tak hinga.
  2. Grup yang memilki hingga elemen atau dengan kata lain berorder hingga

Namun keduanya bisa isomorf (bahasan selanjutnya),untuk kasus tak hingga, dua grup yang keduanya tak hingga,dapat dikatakan hanya beda nama anggota dan operasinya saja, namun jika dilakukan penamaan ulang maka keduanya akan tampak persis. Sedangkan untuk yang order hingga, hanya jika berorder sama akan isomorf.

Jika a adalah pembangun grup siklik G yang berorder hingga, dengan order n, maka terdapat pembangun yang lain, disebut as dimana n dan adalah relatif prim, yang berarti pembagi sekutu terbesar dari n dan s adalah 1.

Contoh sederhana, akan dicari pembangun dan subgrup dari Z10

Jika dimulai dari yang terkecil yaitu 1 maka

<1> = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) = Z10

<2> = (0,2,4,6,8)

<3> = (0,3,6,9,2,5,8,1,4,7) = Z10

<4> = (0,4,8,2,6) = <2>

<5> = (0,5)

<6> = (0,6,2,8,4) = <2>

<7> = (0,7,4,1,8,5,2,9,6,3) = Z10

<8> = (0,8,6,4,2) = <2>

<9> = (0,9,8,7,6,5,4,3,2,1) = Z10

Dari perhitungan didapat pembangun dari Z10 yaitu 1,3,7, dan 9. Sedangkan subgrupnya yaitu 2,4,5,6, dan 8.

About Akatsuki

Akatsuki (artinya “awan merah”) adalah nama sebuah kelompok antagonis beranggotakan 10 orang kriminal kelas S yang ditakuti karena kekuatan dan tabiat mereka yang buruk. Syarat keanggotaan mereka masih belum diketahui secara jelas. Tapi yang pasti, mereka semua mempunyai Kekkei genkai atau setara dengan Kekkei genkai yang unik dan mengerikan .

Tujuan dan visi Akatsuki juga masih belum jelas. Tetapi mereka punya ketertarikan besar terhadap Bijuu —hewan legendaris yang mempunyai chakra yang amat besar yang tidak seorang pun dapat mengendalikannya. Sampai saat ini Akatsuki sudah berhasil mengumpulkan empat ekor Bijuu; yaitu Shukaku si ekor satu, Nekomata si ekor dua, Isonade si ekor tiga, dan Sokou si ekor empat. Mungkin Biju yang lain sudah ditangkap tetapi tidak diperlihatkan dalam komik Naruto.

Organisasi

Tujuan Organisasi

Tujuan Akatsuki ialah penguasaan dunia dengan kekuatan mutlak. Mula-mula mereka akan mengumpulkan ke-9 bijuu. Lalu dengan kekuatan besar, mereka akan membangun desa mereka sendiri dan mengobarkan perang ke seluruh negara. Mereka akan membangun sebuah desa yang sanggup menerima tugas apapun; termasuk pembunuhan, penyerangan, penculikan, perang, dan tugas kotor lainnya. Untuk membangun desa tersebut, mereka membutuhkan uang dalam jumlah besar. Ketua aktsuki yang resmi ialah Pain (Nagato) mantan murid Jiraiya, sementara ketua akatsuki yang dibalik layar ialah Tobi (Maadara Uchiha).

Cara Kerja

Anggota Akatsuki bekerja secara berkelompok masing-masing dua orang yang saling melengkapi kelemahan dan kelebihan masing-masing. Mereka bekerja amat kompak dan kombinasi kekuatan mereka menghasilkan kekuatan yang sangat mematikan. Tetapi dalam tingkat perorangan, para anggota terkadang saling tidak menyukai satu dan lainnya. Akatsuki juga tidak terlalu mengambil pusing dalam hal kematian salah satu anggotanya, yang mereka utamakan adalah keberhasilan dalam misi. Tidak semua anggota Akatsuki bekerja secara berkelompok dua orang, Misalnya Zetsu yang bekerja sendirian.

Penyegelan Bijuu

Dalam aksinya, Akatsuki menggunakan sebuah jutsu/segel untuk memindahkan bijuu ke dalam tubuh salah satu anggotanya. Dengan segel itu, Akatsuki dapat memanggil sebuah patung untuk menghisap bijuu dari tubuh Jinchuuriki. Patung itu bukan sekedar patung biasa, dipanggil oleh Pain (Nagato) sendiri dengan teknik pemanggilan “Kuchiyose Gedo Mazo”. Read the rest of this entry »

Fields Medal untuk Matematikawan

fields medal back Nobel? Semua orang pasti sudah pernah mendengarnya. Nobel adalah hadiah yang diberikan pada ilmuwan dunia yang menghasilkan penemuan luar biasa. Disebut-disebut sebagai penghargaan tertinggi yang bisa diperoleh seorang ilmuwan, Nobel menjadi “unsur wah” yang bakal melekat pada setiap orang yang menerimanya.

Nobel memang hadiah yang sangat bergengsi, meski demikian ada batasan bagi seseorang untuk meraihnya. Hingga kini hanya ada enam bidang ilmu yang termasuk dalam penghargaan ini, yaitu Fisika, Kimia, Kedokteran, Sastra, Perdamaian, dan Ekonomi. Read the rest of this entry »

4 Raja Dalam Kartu Remi

Kalian tau kartu remi kan… kartu yang sering dipakai dalam bermain kartu, berjudi, ataupun bisa juga sebagai tempat pembelajaran belajar matematika tentang Peluang…

Dalam kartu remi yang berjumlah 52 buah ini (54 buah dengan Kartu tambahan yang disebut Joker), kita mengenal 4 simbol yang berbeda satu sama lain…
yaitu Sekop, Keriting ( clover ), Hati ( heart ), dan wajik… tapi, dan kartu tersebut juga memilki tingkatan-tingkatan…

Read the rest of this entry »

Al-Khawarizmi Bapak Ilmu Aljabar, Aritmetika, dan Astronomi

Sangat sedikit orang yang mengetahui riwayat hidup al-Khawarizmi. Dia lahir sebelum tahun 800 M dan meninggal setelah tahun 847 M. Nama lengkapnya Abu Abdullah Muhammad Ibnu Musa. Dia dikenal dengan sebutan al-Khawarizmi karena berasal dari Khawarizm, sebuah daerah di timur laut Kaspia.

alkhawarizmi

Al-Khawarizmi diperkirakan hidup di pinggiran Baghdad pada masa Khalifah al-Ma’mun (813-833 M) zaman dinasti Abbasiyyah. Khalifah al-Ma’mun menjadi sahabat karibnya. Dia menjadikan al-Khawarizmi sebagai anggota Bait al-Khikmah (Wisma Kearifan) di Baghdad . Sebuah lembaga penelitian ilmu pengetahuan yang didirikan oleh Khalifah Harun ar-Rasyid.

Bait al-Khikmah memiliki berbagai keunggulan yang masyhur di dunia Islam. Kesuksesan al-Khawarizmi dalam bidang Astronomi dan Aljabar didedikasikan kepada Khalifah al-Ma’mun. Sementara Khalifah al-Ma’mun sendiri banyak memberikan penghargaan kepada al-Khawarizmi.

Dengan Ilmu Astronomi, al-Khawarizmi mengungkap ramalan tentang waktu Nabi Muhammad SAW dilahirkan secara cermat. Dia juga tercatat sebagai salah seorang astronom yang ikut membuat peta dunia atas permintaan Khalifah al-Ma’mun. Peta dunia tersebut kemudian dikenal dengan nama Peta Ptolemy. Read the rest of this entry »

Turunan (Laju yang Berkaitan)

Matematika selalu dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari, seperti penerapan pelajaran Fisika.
Kali ini akan dibahas tentang Laju yang Berkaitan. Jika didapatkan peubah y yang bergantung kepada nwaktu t, maka jika diturunkan akan menjadi dy/dt yang disebut laju sesaat perubahan. Dan bila y adalah sebuah jarak, maka laju sesaat perubahan disebut sebagai kecepatan. Banyak laju yang kita temukan dalam kehidupan kita sehari-hari seperti laju air masuk ke dalam ember, membesarnya luas pencemaran minyak, laju angin yang menerbangkan layang-layang, dan laju lainnya.
Apabila selain peubah y yang berkaitan dengan t, terdapat juga peubah x dan kita juga mengetahui tentang dx/dt, maka kita bisa mencari dy/dt karena dy/dt dan dx/dt keduanya berkaitan dan disebut laju yang berkaitan.
Jika kita mendapat sebuah soal cerita tentang laju yang berkaitan seperti, maka kita harus memiliki prosedur sistematis atau langkah-langkah :

Read the rest of this entry »

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.